O Problema do Aniversário

Quando estamos estudando física nos deparamos muitas vezes com problemas que envolvem cálculo de probabilidades. Principalmente no estudo de Mecânica Quântica, no qual a própria teoria é por si só Probabilística. Desse modo é fundamental que um bom físico tenha um conhecimento razoável sobre probabilidade e estatística.

Tendo em vista a grande importância da probabilidade no estudo da física, trago aqui um problema simples de probabilidade. Porém, esse problema tem uma solução um tanto surpreendente, pois vai contra o nosso censo comum (não que isso seja alguma novidade no estudo da física).

O problema é o seguinte:

"Quantas pessoas temos que ter em uma sala, para que tenhamos 50% de chance de pelo menos duas dessas pessoas tenham o mesmo aniversário? Isso é completem ano no mesmo dia e mês (considerando um ano com 365 dias)."

A primeira vista a resposta óbvia pode parecer 366/2 , pois se tivermos uma sala com 366 alunos em uma sala teríamos 100% de certeza que pelo menos um aniversário iria conhecedor, então se dividimos por 2 teríamos 50% de chance do mesmo evento ocorrer, porém essa não é a resposta correta!

Para resolver o problema vamos utilizar um resultado bem intuitivo, mas correto, que pode ser demonstrado facilmente via teoria de conjuntos:

"Se P(a) é a probabilidade do a ocorrer e P(b) é a probabilidade do evento a NÃO ocorrer (também chamado de complementar de a). Então a probabilidade de “a” ocorrer PELO MENOS UMA VEZ é: 1-P(b)"

Então se queremos que o evento tenha 50% de chance de ocorrer, ou seja, o cálculo da sua probabilidade deve valer 0,5. Então precisamos saber em que quantidade de alunos 1-P(b) é igual a 0,5.

Então fazemos com apenas um aluno é 100% de certeza que ele não complete ano no mesmo dia que outro pois só temos um aluno, para o segundo temos 364 dias disponíveis para o mesmo completar ano, pois um dos 365 dias já está ocupado pelo primeiro aluno. O terceiro não pode ocupar nem o primeiro nem o segundo aniversário então tem 363 dias disponíveis, ou seja, tudo que precisamos fazer é multiplicar as probabilidades individuais colocando sempre a condição que o aluno seguinte não pode completar ano em NENHUM dia dos alunos anteriores. Desse modo:

(365/365) * (364/365) * (363/365) ... {(365-n)/365}

Essa expressão acima nos da à probabilidade do evento "a" não ocorrer, que é o próprio P(b), Ou seja, a probabilidade de nenhum desses alunos completarem ano no mesmo dia. Como queremos que 1-P(b) seja igual a 0,5, fica claro que P(b) tem que ser igual a 0,5. Desse modo:


(365/365) * (364/365) * (363/365) ... {(365-n)/365} = 0,5

Se fizermos as contas podemos mostrar que quando n=22 teremos essa igualdade verdadeira. Isso quer dizer que a resposta para o nosso problema é 23.

Em uma sala de aula é necessário que se tenha 23 alunos  para que tenhamos 50% de chance que pelo menos dois alunos completem ano no mesmo dia do ano!

Aposto que você esperava mais!