Enxergando o que está abaixo de nossos pés: tomografia sísmica

Descobrir novos campos de petróleo, depósitos minerais, aqüíferos, ou simplesmente obter informações sobre a geologia regional de subsuperfície é necessário, pois precisamos de recursos naturais para sobrevivermos. Nesse aspecto, a geologia é, de certa forma, limitada, pois seus métodos conseguem informações superficiais com riqueza de detalhes, mas informações da subsuperfície já não são mais tão acuradas. Por isso, vários métodos foram desenvolvidos de forma a tentar “enxergar” a geologia em subsuperfície.

Um desses métodos foi criado utilizando a mesma ideia por trás da técnica médica de investigação do interior do corpo de um paciente, a tomografia. Emitindo ondas (eletromagnéticas, em sua maioria – raios X ou raios gama, por exemplo) a partir de vários pontos sobre a superfície fechada S que delimita certa região R, e medindo seus tempos de chegada em sensores também espalhados nessa superfície, estima-se a velocidade em cada ponto de R. De modo semelhante, para a tomografia sísmica, coleta-se dados de tempos de trânsito registrados por receptores (geofones em terra, ou hidrofones no mar) espalhados na superfície S (note que, agora, é uma superfície aberta) após a emissão de ondas sísmicas a partir de uma fonte aproximadamente pontual (que pode ser explosivos ou fontes vibratórias, em terra, ou airguns, no caso do mar), de modo a se obter a função velocidade na região R abaixo de S (geralmente, supondo que R é isotrópico). Os objetivos e os métodos de coleta de dados são diferentes, mas a matemática utilizada é a mesma. Pois ambos os problemas são problemas inversos.

E o que vem a ser um problema inverso? Imagine uma equação do tipo As = t, em que s e t pertencem a algum espaço vetorial (no caso de s, como é o vetor que parametriza o modelo matemático, o espaço a qual ele pertence é chamado de espaço de parâmetros) e A é uma aplicação linear. Obter t tendo A e s é um problema dito direto – é simplesmente uma substituição direta; obter s tendo A e t, ou pior, obter A tendo s e t, é um problema dito inverso – e resolver um problema inverso, principalmente lidando com dados experimentais, não é algo fácil, principalmente devido às incertezas inerentes às medidas.

Pode-se pensar em um problema inverso como o seguinte problema: temos certos sinais que entram em uma “caixa preta”, e saem sinais modificados a partir dos sinais de entrada. O que ocorre com esses sinais dentro da “caixa preta”? O objetivo desse problema é justamente tentar caracterizar, pelo menos de forma aproximada, essa “caixa preta”.

A modelagem do problema da tomografia é feita relacionando o tempo de percurso e o tamanho do trajeto de um raio sísmico em um meio cúbico, com dimensões muito pequenas e de vagarosidade a ser estimada. No final, teremos um problema do tipo As = t, em que s é o vetor de vagarosidades, t é o vetor de tempos de percurso medidos e A é a matriz de tamanhos de trajetos. Esse problema apresenta uma certa dificuldade de solução devido a certos fatores:

* Esse é um problema sem solução, por causa dos erros experimentais em t. Logo, deve-se buscar uma solução alternativa. O mais comum, se A fosse independente de s, seria usar o famoso método dos mínimos quadrados lineares, que consiste na obtenção da solução

que minimiza o erro definido por um funcional – nesse caso, a soma dos erros quadráticos.

* O problema é que A, nesse caso, não é independente de s. Então, temos que recorrer a tentativas de solução alternativas – tipicamente, métodos de busca (métodos de busca da solução em certa região do espaço de parâmetros) e métodos de gradiente (métodos de estimação da solução de forma iterativa, com base na estimação do gradiente do funcional a ser minimizado).

* Além disso, ainda há o problema da estabilidade – a matriz A, em geral, é tal que certos erros no tempo de trajeto podem amplificar os erros na estimação das vagarosidades do modelo em subsuperfície. O problema, então, é dito instável. Para isso, utiliza-se algum esquema de regularização, de modo a se obter uma estimativa da solução que esteja razoavelmente “protegida” das amplificações dos erros.

O resultado desse problema inverso, a estimativa de s, pode ser resumido em uma imagem da subsuperfície. Essa imagem pode ser muito importante para estudos diversos.

Em resumo, resolver o problema da tomografia sísmica é um desafio – e é um desafio que deve ser enfrentado, para que possamos conhecer os segredos da geologia abaixo de nossos pés.

Renato Ramos

@renatoGEOF
talude5@hotmail.com

A Gravidade - Newton x Einstein

A Matéria curvando o espaço tempo gera a gravidade.

A gravidade é algo que estamos acostumados a conviver desde muito novos, na realidade, desde que nascemos, mas entende-la tem sigo algo muito complicado e deixa questões polêmicas até os dias de hoje.

A primeira ideia que a maioria das pessoas, intuitivamente, tem da gravidade é que ela é uma força muito forte. Tal ideia é, obviamente, falsa. Basta pegar um pequeno imã e podemos vencer a força que TODA terra faz em um pedaço de ferro. Na realidade, é possível mostrar através de um pequeno cálculo que a força eletromagnética é 40 ordem de grandeza maior que a força gravitacional! Ainda existe uma força maior que ambas, chamada força nuclear forte, mas além dessa só prevalecer em pequenas distâncias não é o tema do post de hoje.

Resumindo: A força gravitacional é uma força fraca, pois precisa envolver grandes massas para que prevaleça perante as outras. Como por exemplo massa de planetas!

Agora, naturalmente, surge uma pergunta: como a gravidade age entre os corpos? Essa era uma pergunta que deixava o grande físico inglês Sir Isaac Newton envergonhado. Ele sabia como descrever a gravidade e fazer resultados e previsões a partir dela, mas, não sabia explicar como essa força agia através de distâncias tão longas e muitas vezes dava explicações um tanto que místicas para o assunto e acreditava que essa agia instantaneamente ou seja: a velocidade de propagação da gravidade era infinita. Claro, que isso não tira todo o brilhantismo de Newton nem sua imensa contribuição para a física. Porem, a Mecânica Clássica falha ao explicar a origem da gravidade, embora seja relativamente boa em descreve-la.

Para entendermos um pouco mais da gravidade temos que entender a massa e o espaço tempo da Relatividade Geral, segundo a mesma, não faz sentido falarmos de espaço e tempo separadamente (como falávamos na Mecânica Clássica), como o tempo é uma dimensão tao importante quanto o espaço em 3 dimensões que estamos acostumados, então precisamos de quatro vetores canônicos linearmente independentes para gerar o mundo em que vivemos, tal mundo é chamado de: Space Time ou, Espaço Tempo. Acontece que a massa tem o estranho poder de curvar o espaço tempo ao seu redor como se o mesmo (o espaço tempo) fosse uma cama elástica. Quanto maior a massa mais curvatura faz no Espaço Tempo. Essa ideia claro é não intuitiva se você imagina que a menor distância entre dois pontos é uma reta, mas para a Relatividade essa ideia só é verdadeira se estivermos no vácuo. Onde não há matéria o espaço tempo é plano e por isso a menor distância entre dois pontos continua sendo uma reta. Com a presença da massa a menor distância entre dois pontos é evidentemente uma curva (pois a massa curva o espaço tempo) tais curvas são chamadas de geodésia. Mas, você pode está se perguntando: Porque não vejo o espaço tempo curvado ao meu redor? A resposta é simples: Sua mente não está apta a enxergar o espaço tempo, ela apenas enxerga a parcela espacial ou temporal, separadamente, de tal maneira que nunca podemos ver diretamente o espaço tempo. Ou seja: Vivemos no espaço tempo mas, nossos cérebros não estão aptos a ver!

Discutir a validade da Relatividade Geral é algo que podemos trabalhar em outros pots, por hora, basta saber que existem vários experimentos realizados e todos indicam cada vez mais a valência e legitimidade da Relatividade Geral.

Sendo assim,  explicar a gravidade aos olhos da Relatividade Geral é algo relativamente simples: A curvatura no espaço tempo faz com que as massas sigam seus caminhos através das geodésicas devido a grande curvatura gerada por uma massa maior. O caminho seguido é, exatamente, a geodésia.

Sendo a gravidade uma consequência direta da curvatura do espaço tempo causado pela simples existência da massa é intuitivo imaginar que, se uma massa que antes existia fosse totalmente convertida em energia em um certo instante de tempo o espaço tempo em sua volta ia se modulando até ficar plano novamente, também é intuitivo imaginar que isso não ocorreria instantaneamente mas demoraria um intervalo de tempo. Imagine que você tire a pesada bola de ferro de cima  da cama elástica, ela irá demorar um pouco até ficar plana novamente, existe uma onda que se propaga e deixa a cama elástica plana. Quando passamos para o espaço tempo essa onda se propaga com velocidade c, a velocidade da luz, e não com velocidade infinita como pensava Newton. Tais ondas são chamadas de Ondas de Gravidade e foram propostas pelo físico alemão Albert Einstein.

As ondas de gravidade se propagam com velocidade c.

Para entender melhor a situação imagine a seguinte pergunta:

Em um certo instante de tempo, sem nenhum aviso prévio o sol deixa de existir, quanto tempo demoraríamos para sair de órbita?

Para Newton a resposta seria imediatamente, pois a gravidade age a distância e com velocidade infinita. Albert Einstein responderia: como a luz do sol demora 8 minutos para chegar até a terra e a velocidade das ondas de gravidade é a mesma que a luz então demoraríamos 8 minutos para sair de órbita.

Hoje em dia a veia principal dos físicos acreditam mais em Einstein, mesmo que o sol ainda exista!